Capítulo 2 Experimentos fatoriais 2^k

2.1 Visão geral

Os experimentos fatoriais $2^k$ são uma categoria especial dos experimentos fatoriais gerais. Usa-se essa nomenclatura para indicar que são estudados $k$ fatores, cada um deles com 2 níveis, de forma completamente cruzada, perfazendo $p$ pontos experimentais.

Para estudar o efeito de um fator é preciso que se tenha no mínimos dois níveis. Dessa forma, o fatorial $2^k$ é o mais econômico tipo de experimento fatorial. O número de pontos experimentais cresce numa progressão geométrica de razão 2. O $2^k$ é útil para investigar simultaneamente vários fatores para posteriormente afunilar a investigação naqueles que se mostragem mais relevantes. O nome dado para esse experimento é screening designs ou screening experiments.

Os experimentos de triagem (screening) são feitos nas etapas iniciais de uma nova investigação quando não se sabe exatamente quais dos $k$ fatores previamente listados influenciam a resposta de um fenômeno. Para que se possa, portanto, considerar os vários fatores simultaneamente sem elevar o custo experimental com muitos pontos experimentais, usa-se 2 níveis para cada um dos $k$ fatores.

O fatorial $2^k$ é interessante para

( $2^k$ completo com $r > 1$ repetições) Estudar poucos fatores ( $k = 2, \ldots, 4$ ) fazendo $r$ repetições de cada ponto experimental. Isso dá um experimento com $r2^k$ corridas ou unidades experimentais que, em situações com uniformidade de unidades/condições experimentais pode-se fazer em delineamento inteiramente casualizado.
( $2^k$ completo com $r = 1$ repetição) Estudar vários fatores ( $k \geq 4$ ) com uma única réplica para cada ponto experimental ( $r = 1$ ) e, ao considerar o efeito interações de alta como nulos, a partir delas estimar a variância do erro para testar os efeitos.
( $2^k$ completo em $b = 2^{k - u}$ blocos, $u < k$ ) Estudar $k$ fatores com $r \geq 1$ repetições dos pontos experimentais fazendo-se a blocagem para acomodar variações das unidades/condições experimentais. Se o tamanho do bloco for múltiplo de 2 mas menor que $2^k$ , ou seja $2^u$ com $u < k$ , pode-se usar a técnica de confundimento para escolher as corridas experimentais que devem ser atribuídas às $u$ unidades experimentais de cada bloco. Dessa forma, o experimento terá $r2^k$ unidades experimentais alocadas em $b = \frac{r2^k}{2^u} = r2^{k - u}$ blocos.
(fração de $2^k$ com $2^u$ unidades experimentais, $u < k$ ) Estudar $k$ fatores com apenas $2^u (u < k)$ corridas/unidades experimentais. Como não há disponibilidade de recursos para ou interesse em estudar todos os $2^k$ pontos experimentais, estuda-se uma fração $2^{k - u}$ deles. Todavia, os pontos experimentais presentes nessa fração não são uma coleção aleatória qualquer, mas sim pontos experimentais devidamente escolhidos para que o delineamento apresente boas propriedades.
( $2^k$ com $a > 1$ pontos adicionais) Estudar $k$ fatores quantitativos em um esquema de planejamento evolucionário de experimento. É a situação que visa determinar a condição de operação ótima, ou seja, o conjunto de valores $x_i (i = 1, \ldots, k$ ) no domínio de cada um dos $k$ fatores em que a resposta é ótima. Para isso usa delineamentos com pontos experimentais adicionais. O mais simples é o que adiciona apenas $a$ corridas/unidades experimentais no ponto central (centro da região experimental).

As 5 situações acima descritas serão estudadas nesse curso.

$Experimento em planejamento fatorial $2^3$.$

Figura 2.1: Experimento em planejamento fatorial $2^3$ .

$Experimento em planejamento fatorial $2^4$.$

Figura 2.2: Experimento em planejamento fatorial $2^4$ .

$Experimento em planejamento fatorial $2^5$.$

Figura 2.3: Experimento em planejamento fatorial $2^5$ .

2.2 Modelo estatístico

Considerando o experimento fatorial $2^k$ completo, o modelo estatístico que considera todas os termos de interação até a ordem $k$ terá

Por simplicidade de exposição, considere $k = 3$ . O modelo estatístico é $\begin{align*} y_{ijkr}|ijk &\sim \text{Normal}(\mu_{ijk}, \sigma^2)\\ \mu_{ijk} &= \mu + A_i + B_j + C_k + (AB)_{ik} + (AC)_{ik} + (BC)_{jk} + (ABC)_{ijk}\\ \sigma^2 &\propto 1. \end{align*}$

Preferiu-se usar letras romanas no lugar de gregas para indicar o conjunto de parâmetros de cada termo. Dentro da expressão do modelo $k$ é o subíndice do fator C e não o número de fatores. Para não haver confusão, entenda que $(AB)$ é a indicação de esse termo acomoda o efeito do produto cruzado dos fatores A e B e não que seja o produto de dois números $A$ e $B$ .

Se cada ponto experimental tiver $r > 1$ repetições, então tem-se um estimador puro do erro experimental $\sigma^2$ baseado em $2^k(r - 1)$ graus de liberdade. É muito importante destacar esse aspector. Estimador puro do erro experimental é aquele proveniente apenas dos desvios das repetições dentro de cada ponto experimental. Ele não tem “impurezas”, ou melhor, contribuições de termos omitidos do modelo da média $\mu_{ijk}$ . Para experimentos $2^k$ completos com $r = 1$ repetição, o estimador do erro experimental não será puro mas sim composto por termos omitidos do modelo da média, no caso, interações de ordem alta.

$Esquema do quadro de análise de variância para um experimento fatorial $2^k$ completo com $r$ repetições.$

Figura 2.4: Esquema do quadro de análise de variância para um experimento fatorial $2^k$ completo com $r$ repetições.

2.3 Nomenclatura alfabética para os pontos experimentais

Para se referir aos pontos experimentais de um experimento $2^k$ usa-se a nomenclatura alfabética indicada no quadro a seguir. A nomenclatura posicional incremental também é empregada, porém, mais frequente em experimentos $3^k$ .

$Nomenclatura alfabética e posicional incremental em um experimento fatorial $2^3$.$

Figura 2.5: Nomenclatura alfabética e posicional incremental em um experimento fatorial $2^3$ .

A nomenclatura indica que o fator aparece no ponto experimental com nível alto quando a letra do alfabeto minúsculo que o representa estiver aparecendo. Caso contrário, o fator aparece no nível baixo. Nível alto é o segundo nível, e.g. $a_2$ , nível baixo é o primeiro, e.g. $a_1$ . Quando todos os fatores então no nível baixo, usa-se $(1)$ .

A notação posicional incremental é muito simples. Os níveis de um fator são codificados em $0, \ldots, k - 1$ . Para $2^k$ , o número 0 indica que o fator está no nível baixo e o 1 indica que está no nível alto. Essa notação é útil para construção de delineamentos com confundimento e fracionamento dos pontos experimentais.

2.4 Codificação para a matriz do modelo

Uma vez espeficado o modelo, existem diferentes opções de codificação que podem ser usadas conforme o tipo dos fatores: qualitativo ou quantitativo. No entanto, como o número de níveis de cada fator é 1, o máximo número de parâmetros necessários para acomodar o efeito de um fator é 1, seja ele qualitativo ou quantitativo. O que muda é apenas a interpretação e a possibilidade de fazer predições além dos níveis estudados dos fatores.

Quando um fator é qualitativo pode-se usar a codificação de tratamento. Nela, o parâmetro associado ao primeiro nível de cada fator considerado 0. Os parâmetros tem interpretação de diferença em relação ao ponto experimental de referência. Essa codificação, embora muito muito utilizada é subótima no sentido de não gerar uma base ortogonal de vetores coluna na matriz do modelo. Veja o topo da Figura 2.6.

Quando o fator é quantitativo, pode-se definir a matriz do modelo usando os próprios níveis numéricos, com cada fator sendo representado na sua própria escala e unidade de medida. Essa representação, embora usada sem preocupação em problemas de regressão, é subótima porque a matriz $X^\top X$ é densa. Além disso, a interpretação dos parâmetros e o erro-padrão associado às estimativas será dependente da escala dos fatores. Pode-se facilitar a análise do experimento usando um esquema de codificação apropriado. Veja o meio da Figura 2.6.

Para tirar vantagem de benefícios computacionais e de interpretação, usa-se codificar os níveis dos fatores com $-1$ para o primeiro nível e $+1$ para o segundo. Essa codificação corresponde ao contraste soma zero se o fator for qualitativo. Se o fator for quantitativo corresponde à uma padronização de escala para ter ponto central em 0 e amplitude 1. A operação de transformação é bem simples $z = 2 \cdot \frac{x - (x_1 + x_2)/2}{x_2 - x_1}, \quad z \in \{0, 1\},$ em que $x$ é o fator na escala original sendo $x_1$ e $x_2$ seus níveis baixo e alto, respectivamente, e $z$ o fator na escala codificada, com nível baixo representado por $-1$ e alto por $+1$ .

Com a parametrização centrada, tem-se então, i) mais comodidade computacional pois o produto interno entre colunas da matriz do modelo é 0, gerando uma matriz diagonal fácil de obter a inversa e ii) interpretação comparativa dos efeitos, ou seja, uma vez que os fatores estão sob a mesma escala, as estimativas de maior tamanho absoluto correspondem aos termos de maior efeito e iii) os erros-padrões das estimativas serão todos de mesmo tamanho, o que decorre da diagonal homogênea de $X^\top X$ .

$Tipos de codificação usadas para representar o efeito de fatores em experimentos fatoriais $2^k$.$

Figura 2.6: Tipos de codificação usadas para representar o efeito de fatores em experimentos fatoriais $2^k$ .

A codificação soma zero gera uma base ortogonal, com isso as colunas são ortogonais entre si.

2.5 Representação geométrica

Considerando o fatorial $2^3$ , a representação geométrica indica os pontos experimentais no espaço $k$ -dimensional. Os vértices estão sob as coordenadas $-1$ e $+1$ em cada um dos eixos.

2.6 Estimação dos efeitos

O modelo estatístico corresponde ao experimento fatorial declarado acima é linear nos parâmetros. Dessa forma, a estimação dos parâmetros pelo método de mínimos quadrados ordinários é feita por $\hat{\beta} = (X^\top X)^{-1} (X^\top y).$

A variância das estimativas é obtida por $\text{Var}(\hat{\beta}) = \sigma^2 \text{diag}((X^\top X)^{-1}).$

Quando a matriz $X$ é a matriz de sinais decorrente da codificação com pontos de suporte em $-1$ e $+1$ , pode-se facilmente estimar os parâmetros por meio de contrastes entre grupos de médias (Figura 2.7).

$Estimação dos parâmetros do modelo para o experimento fatorial $2^3$ com $r = 1$ repetições.$

Figura 2.7: Estimação dos parâmetros do modelo para o experimento fatorial $2^3$ com $r = 1$ repetições.

Pode-se facilmente compreender que os efeitos estimados são funções lineares dos valores observados nos pontos experimentais. Para ser mais específico, são contrastes entre dois grupos de médias amostrais. A figura 2.8 exibe geometricamente o conjunto de pontos experimentais considerado em cada um dos termos do contraste.

Figura 2.8: Ilustração geométrica de como os efeitos são determinados a partir dos pontos experimentais do delineamento.

2.7 Testes de hipótese

Recordando que a expressão do modelo é $\begin{align*} \mu_{ijk} &= \mu + A_i + B_j + C_k + (AB)_{ik} + (AC)_{ik} + (BC)_{jk} + (ABC)_{ijk},\\ \end{align*}$ as hipóteses sobre o efeito dos termos experimentais são $\begin{align*} H_0^A&: A_i = 0 \,\,\forall i \quad \Rightarrow \quad H_0^A: \mu_{A+} - \mu_{A-} = 0\\ H_0^B&: B_j = 0 \,\,\forall j \quad \Rightarrow \quad H_0^B: \mu_{B+} - \mu_{B-} = 0\\ H_0^C&: C_k = 0 \,\,\forall k \quad \Rightarrow \quad H_0^C: \mu_{C+} - \mu_{C-} = 0\\ H_0^{AB}&: (AB)_{ij} = 0 \,\,\forall ij\\ & \vdots \\ H_0^{ABC}&: (ABC)_{ijk} = 0 \,\,\forall ijk\\ \end{align*}$

Tais hipóteses tem um grau de liberdade cada. Elas podem ser igualmente testadas pela estatística $F$ do quadro de análise de variância quando pela estatística $t$ do quadro de resumo de parâmetros estimados. Lembre-se que para estatísticas de teste com 1 grau de liberdade, uma estatística $t$ ao quadrado, $t^2$ , tem distribuição $F$ .

2.8 Somas de quadrados

Ilustração da obtenção da soma de quadrados de um efeito pelas expressões matriciais e sua redução em expressão baseada no quadrado do contraste entre médias.

Figura 2.9: Ilustração da obtenção da soma de quadrados de um efeito pelas expressões matriciais e sua redução em expressão baseada no quadrado do contraste entre médias.

Capítulo 2 Experimentos fatoriais 2k